Kalkulus : Turunan

01 - Apa sih turunan itu?

Selamat datang di belajar-kalkulus.blogspot.com. Tujuan dari blog ini adalah jelas untuk mengajari anda tentang kalkulus. Kita akan melakukannya dengan menyelesaikan banyak soal di tiap bagian. Sebelum kita melakukannya, ijinkan saya untuk memberikan sedikit penjelasan mengenai kalkulus dan mengapa kalkulus penting.

Pertama-tama singkirkan segala kekhawatiran anda. Mengapa demikian? Karena kalkulus mempunyai reputasi yang sangat buruk. Kalkulus terdengar sangat menakutkan. Saya ingin anda membuang kesan tersebut jauh-jauh. Saya akan mengajarkan anda bagaimana untuk mengerjakan kalkulus seperti matematika kelas tiga SD.

Tujuan saya adalah untuk menyelesaikan soal-soal kalkulus langkah per langkah, sehingga anda merasa nyaman dalam mengikutinya. Saya berharap dengan begitu anda dapat membawa pengalaman tersebut dalam mengerjakan pekerjaan rumah dan tes anda.Saya akan berusaha untuk membahas tiap-tiap topik yang ada dalam kalkulus. Tugas anda adalah berlatih soal-soal tambahan dari buku. Belajar kalkulus sama seperti bermain basket atau bulutangkis atau sepakbola, untuk menguasainya anda harus banyak berlatih.

Saya berusaha menggunakan cara tercepat dalam mengerjakan soal-soal. Saya tidak akan menjelaskan terlalu banyak teori, melainkan dengan mengerjakan contoh-contoh soal. Tugas anda adalah mengikuti apa yang saya jelaskan dari awal hingga akhir dan anda akan berada dalam kondisi yang baik.

Bagian pertama adalah konsep turunan, kita akan membahasnya dalam beberapa topik berikutnya. Konsep kedua adalah integral, yang mana terdengar “mengerikan”. Tapi tidak masalah, saya akan menjelaskan apa itu turunan.

Katakanlah saya memegang sebuah pensil, kemudian saya menggerakan pensil tersebut dengan kecepatan tetap. Tidak bertambah cepat ataupun bertambah lambat. Pensil tersebut hanya bergerak melewati anda dengan kecepatan yang tetap. Seperti saat kita menyetir mobil dengan kecepatan tetap 60 km/jam.

Gambar 1

Kita akan menggambar grafik dari pergerakan pensil tersebut. Sumbu vertikal adalah posisi, sedangakan sumbu horisontal  adalah waktu. Kita tambahkan ruas pada waktu dan posisi. Lalu kita gambarkan pada posisi mana dari titik awal pensil tersebut berada pada waktu tertentu. Jika pensil tersebut bergerak secara konstan, bagaimana grafiknya? Grafik tersebut akan berbentuk garis lurus seperti tampak pada gambar 1. Karena tiap maju satu detik, jaraknya akan bertambah dalam jumlah peningkatan yang sama.

Gambar 2

Jika ada percepatan disana, maka grafiknya akan terlihat seperti pada gambar 2.

Jika anda menuliskan grafik seperti pada gambar 1 sebagai sebuah persamaan, maka anda akan mendapatkan

Gambar 3

Fungsi P(t) berupa garis lurus, atau jika dibuat persamaanya adalah mt yang mana m merupakan kemiringan dari garis. Anda bisa mengganti m dengan 1, 2 atau 3. m hanyalah kemiringan dari garis pada grafik gambar 1.

Saya akan memberikan pertanyaan kepada anda. Jika grafik seperti pada gambar 1 adalah grafik dari benda yang bergerak dengan kecepatan tetap, maka bagaimana grafik dari kecepatannya?

Saya sudah mengatakan kepada anda bahwa benda tersebut bergerak dengan kecepatan tetap, maka dengan demikian bisa kita gambarkan grafiknya sebagai berikut:

Gambar 4

Yang artinya kecepatan tersebut akan selalu tetap (konstan) pada tiap pertambahan waktu. Persamaan dari gambar 4 adalah sebagai berikut:

Gambar 5

Terakhir saya akan menggambarkan grafik untuk percepatannya. Saya sudah menekankan bahwa gerakan benda tidak dipercepat atau diperlambat. Maka jelas bahwa percepatannya adalah nol, seperti bisa kita lihat pada gambar 6.

Gambar 6

Jika kita tuliskan fungsi dari grafik gambar 6 adalah sebagai berikut:

Gambar 7

Anda mungkin akan tekejut jika saya bilang bahwa kita baru saja membuat dua turunan dari grafik Gambar 1. Gambaran besarnya adalah sebagai berikut, “Turunan dari sebuah grafik adalah kemiringannya”. Atau yang biasa dikatakan oleh buku kalkulus sebagai “Laju Perubahan”.

Jika anda menurukan grafik posisi (gambar 1) anda akan mendapatkan grafik kecepatan (gambar 4), jika anda menurunkan grafik kecepatan (gambar 4) anda akan mendapatkan grafik percepatan (gambar 7). Secara keseluruhan dari yang telah kita bahas diatas tampak pada gambar 8 dibawah.

Gambar 8

Saya tekankan sekali lagi, turunan adalah kemiringan dari grafik. Pada grafik posisi kemiringannya konstan maka kita mendapatkan grafik kecepatan yang konstan. Pada grafik kecepatan kita dapat melihat hanya berupa garis lurus yang tidak punya kemiringan, maka tentu saja turunannya, yaitu grafik percepatan bernilai nol.

Analoginya adalah seperti ketika anda mengendarai mobil di jalanan yang naik diandingkan dengan ketika anda mengendari mobil di jalanan yang rata. Di jalanan yang naik, jalanan tersebut mempunyai kemiringan, sedangkan jika anda mengendarainya di jalanan yang rata, tentu saja jalan tersebut tidak mempunyai kemiringan.

Saya akan memformulasikan apa yang telah kita bicarakan tadi.

Gambar 9

Kemiringan dari grafik posisi adalah grafik kecepatan. Saya ulangi lagi, dan ini merupakan dasar dari Kalkulus, “Turunan adalah kemiringan dari grafik”.

Gambar 10

Kemiringan dari fungsi kecepatan adalah fungsi percepatan. Dan yang paling penting, merupakan dasar dari Kalkulus, hukum alam, dan dasar Fisika adalah “Turunan adalah kemirignan dari grafik”.

Seperti anda lihat, di kelas mungkin anda akan mendapatkan teori semacam ini dalam waktu yang cukup lama, disertai dengan penjelasan yang rumit. Tapi disini kita telah mempelajari turunan dalam waktu yang cukup singkat.

Selanjutnya saya akan menjelaskan bagaimana cara mendapatkan turunan dari grafik yang tidak berupa garis.

Bagimana jika kita mempunyai sebuah benda yang bergerak dipercepat, bukan seperti contoh yang pertama bergerak secara konstan, tetapi dipercepat.

Gambar 11

Grafik dari pergerakan benda yang dipercepat tersebut bisa dilihat di gambar 11. Fungsi dari grafik tersebut adalah parabola, seperti pada gambar 12.

Gambar 12

Lalu pertanyaanya adalah bagaimana kita mencari turunannya? Itu bukan berupa garis lurus, kemiringannya berubah. Seperti dapat anda lihat, di awal grafik kemiringannya landai, namun sejalan dengan bertambahnya waktu, kemiringannya akan semakin curam dan curam dan curam hingga sangat curam seiringan berjalannya waktu.

Gambar 13

Seperti apa grafik kecepatannya?

Gambar 14

Kecepatannya meningkat seiring dengan waktu seperti tampak di gambar 14. Seiring dengan meningkatnya kemiringan pada grafik percepatan, kecepatan meningkat.

Gambar 15

Jika anda menuliskan persamaannya tampak seperti pada gambar 15. Lalu bagaimana grafik percepatannya?

Gambar 16

Grafik percepatannya adalah kemiringan dari grafik kecepatannya. Sehingga grafik tampak seperti gambar 16, berupa garis lurus karena kemiringannya konstan.

Gambar 17

Persamaanya seperti tampak pada gambar 17. Sampai saat ini anda telah mendapatkan gambaran besar dari turunan. Sekali lagi, turunan adalah kemiringan dari grafik, jika grafiknya tidak berupa garis lurus, maka turunannya adalah perubahan kemiringan pada tiap titik dari grafik.

Pada contoh memang kita banyak membahas mengenai grafik posisi, kecepatan dan percepatan, Namun pada kenyataanya turunan tidak hanya dapat diterapkan pada hal tersebut tetapi juga di bidang lain seperti perubahan tekanan atau perubahan arah pesawat dan sebagainya.

Gambar 18

Pada gambar 18 terlihat bahwa turunan adalah kemiringan dari garis pada kurva. Sekarang saya akan membicarakan mengenai simbol dari dervatif.

Gambar 19

Fungsi kecepatan adalah turunan dari fungsi posisi, dituliskan seperti pada gambar 19,  dibaca P aksen t.

Dibaca dp dt, artinya derivatif fungsi p terhadap t.

Atau kemiringan dari fungsi apapun., bisa P(t), A(t), dsb

Demikian juga dengan fungsi percepatan

Gambar 20

Dibaca p dobel aksen t, ini adalah simbol dari turunan kedua dari sebuah fungsi. Turunan pertamanya adalah , yang dibaca p aksen t.

Turunan pertama berarti jika saya punya sebuah fungsi, carilah kemiringannya, maka kita akan mendapatkan turunan pertama. Turunan kedua berati cari turunan pertama dari fungsi, lalu cari lagi kemiringannya, sehingga total ada dua kali penurunan, maka kita akan mendapatkan turunan kedua dari fungsi tersebut.

Gambar 21

Seperti pada gambar 21, grafik percepatan merupakan turunan kedua dari grafik posisi, sedangkan grafik kecepatan merupakan turunan pertama dari grafik posisi.

dibaca d kuadrat p dt kuadrat, merupakan notasi dari turunan kedua dari sebuah fungsi selain .

Gambar 22

Jika anda mempunyai grafik seperti gambar 22, anda bisa menentukan turunan dari beberapa kurva, tetapi tidak untuk titik tertentu seperti pada bagian yang diberi “Deriv not defined”. Ini disebabkan karena deravatif hanya bisa ditentukan untuk kurva yang mulus. Anda tidak bisa menentukan derivatif dari kurva yang tidak mulus (diskontinyu), atau kurva yang sangat tajam. Karena tentu saja titik puncak kurva tersebut tidak dapat diketahui kemiringannya, oleh karena itu fungsi semacam ini tidak bisa diturunkan.